Question

二次函數(shù)f(x)=ac²+bx+c(a、b、c∈Z)的圖像按向量n=(-1，0)平移后關(guān)于y軸對(duì)稱，方程f(x)-x=0的兩根為α、β，且α∈(0，2)，β∈(2，4)，β-α=．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=x³-3x²-6x+m，若存在常數(shù)k，使得函數(shù)g(x)、f(x)在區(qū)間[-2，2]上的圖像分別在直線y=k的上方和下方，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為-

∵左移1個(gè)單位后與y軸重合

∴-=1,即b=-2a 

f(x)=ax²-2ax+c  令H(x)=f(x)-x

即ax²-(2a+1)x+c=0的兩根分別在（0,2）和(2,4)中

1 當(dāng)a＞0時(shí)，有

由∈Z得c=1,a＞ 

由|β-α|=

解得a=1或a=-1(舍去)  f(x)=x²-2x+1 

2 當(dāng)a＜0時(shí)，有  無(wú)解

綜上可知f(x)=x²-2x+1 

（2）由題意，知當(dāng)x∈[-2,2]上，f(x)_max＜g(x)_min 

當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f(x)_max=9  （9分）

(x)=3x²-6x-6=3[x-(1-)][x-(1+)]

∵當(dāng)x＞1+時(shí)，(x)＞0,在(1+,+∞)上g(x)為增函數(shù)

當(dāng)1-＜x＜1+時(shí)(x)＜0,在(1-,1+)上，g(x)為減函數(shù)

當(dāng)x＜1-時(shí)，(x)＞0,在(-∞,1-)上g(x)為增函數(shù) 

∴g(x)在[-2,1-]上為增函數(shù),在[1-,2]上是減函數(shù)

又∵g(-2)=m-8,g(2)=m-16  ∴g(-2)＞g(2) 

∴在[-2,2]上，g(x)_min=g(2)=m-16 

  ∴m-16＞9,即m＞25