Question

某書商為提高某套叢書的銷量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷會(huì)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，銷售量可達(dá)到15—0.1x萬(wàn)套．現(xiàn)出版社為配合該書商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：萬(wàn)套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷售每套叢書的利潤(rùn)＝售價(jià)－供貨價(jià)格．問(wèn)：
(1)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，書商能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
(2)每套叢書售價(jià)定為多少元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大？

Answer 1

（1）340(萬(wàn)元)
（2）每套叢書售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大，最大值為100元

解：(1)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，銷售量為15－0.1×100＝5(萬(wàn)套)，此時(shí)每套供貨價(jià)格為30＋＝32(元)，書商所獲得的總利潤(rùn)為5×(100－32)＝340(萬(wàn)元)．
(2)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，由
解得0<x<150.
依題意，單套叢書利潤(rùn)
P＝x－(30＋)＝x－－30，
∴P＝－[(150－x)＋]＋120.
∵0<x<150，∴150－x>0，
由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝，即x＝140時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，P_max＝－20＋120＝100.
∴當(dāng)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，書商獲得總利潤(rùn)為340萬(wàn)元，每套叢書售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大，最大值為100元．