Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，若不等式f（x）＜x在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)g（x）若存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域也是[m，n]，則稱(chēng)g（x）是[m，n]上的閉函數(shù)．若函數(shù)f（x）是某區(qū)間上的閉函數(shù)，試探求a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，則f（x₁）＜f（x₂）
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）
（2）當(dāng)b=2時(shí)，在x∈（1，+∞）上恒成立，即
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/85015.png' />，當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
，所以在x∈（1，+∞）上的最小值為．則
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/289133.png' />的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
設(shè)f（x）是區(qū)間[m，n]上的閉函數(shù)，則mn＞0且b≠0
①若0＜m＜n
當(dāng)b＞0時(shí)，是（0，+∞）上的增函數(shù)，則，
所以方程在（0，+∞）上有兩不等實(shí)根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有兩不等實(shí)根，所以，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0
當(dāng)b＜0時(shí)，在（0，+∞）上遞減，則，即，
所以a=0，b＜0
②若m＜n＜0
當(dāng)b＞0時(shí)，是（-∞，0）上的減函數(shù)，所以，即，
所以a=0，b＞0
當(dāng)b＜0是（-∞，0）上的增函數(shù)，所以所以方程在（-∞，0）上有兩不等實(shí)根，即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有兩不等實(shí)根，
所以即a＜0，b＜0且a²+4b＞0
綜上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0
分析：（1）先去絕對(duì)值，然后設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據(jù)函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，則f（x₁）＜f（x₂），建立關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可求出b的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＜x在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，可轉(zhuǎn)化成在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右邊的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）設(shè)f（x）是區(qū)間[m，n]上的閉函數(shù)，則mn＞0且b≠0，討論m與n同正與同負(fù)兩種情形，以及討論b的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)系式，即可求出a與b滿(mǎn)足的條件．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立和函數(shù)的值域，是一道綜合題，有一定的難度．