Question

已知函數(shù)f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，若f（x）≤0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

k≥1

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍．

解答：解：f'（x）=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，1+

1

k

）單調(diào)遞增，在（1+

1

k

，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1+

1

k

時(shí)，f（x）取最大值，f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0
∴k≥1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥1．
故答案為：k≥1．

點(diǎn)評：本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．