Question

已知|

OA

|=1，|

OB

|=k，∠AOB=

2

3

π，點C在∠AOB內，

OC

•

OA

=0，若

OC

=2m

OA

+m

OB

(m≠0)，則k=

 

．

Answer 1

分析：由點C在∠AOB=

2π

3

內，

OC

•

OA

=0，可建立如圖所示的坐標系．取A（1，0），由|

OB

|=k，
可得B(kcos

2π

3

，ksin

2π

3

)，再利用

OC

=2m

OA

+m

OB

(m≠0)，可得點C的坐標，利用

OC

•

OA

=0，即可解得k．

解答：解：由點C在∠AOB=

2π

3

內，

OC

•

OA

=0，可建立如圖所示的坐標系．
取A（1，0），
∵|

OB

|=k，∴B(kcos

2π

3

，ksin

2π

3

)，即B(-

1

2

k，

3

2

k)．
∴

OC

=2m

OA

+m

OB

(m≠0)，
∴

OC

=2m(1，0)+m(-

1

2

k，

3

2

k)=(2m-

1

2

mk，

3

2

mk)．
∵

OC

•

OA

=0，
∴2m-

1

2

mk=0，
∵m≠0，∴2-

1

2

k=0，解得k=4．
故答案為：4．

點評：本題考查了通過建立直角坐標系解決向量問題、向量的運算法則、向量的數(shù)量積與垂直的關系，屬于中檔題．