Question

已知函數(shù)f(x)=ax-

1

x

-2lnx．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增 區(qū)間；
（II）a為何值時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上有零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零，對(duì)a分情況討論，根據(jù)△的符號(hào)，即可求得結(jié)論；
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上有零點(diǎn)等價(jià)于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有實(shí)根，分離參數(shù)得a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）f′（x）=

ax2-2x+1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0?ax²-2x+1＞0
①若a=0，則0＜x＜

1

2

，f（x）的遞增區(qū)間是(0，

1

2

)；
②若a＜0，則△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的兩根x1=

1+ 1-a

a

＜0，x2=

1- 1-a

a

＞0，
當(dāng)0＜x＜

1- 1-a

a

時(shí)，＞0
∴f（x）的遞增區(qū)間是(0，

1- 1-a

a

]
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1時(shí)，
方程ax²-2x+1=0的兩根x1=

1- 1-a

a

＞0，x2=

1+ 1-a

a

＞0，
此時(shí)f（x）的遞增區(qū)間為(0，

1- 1-a

a

]和[

1+ 1-a

a

，+∞)
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1時(shí)f'（x）≥0
此時(shí)的遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（II）問題等價(jià)于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有實(shí)根，
而f（x）=0?a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]
令g(x)=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]g′(x)=

2

x3

(x-xlnx-1)
再令?（x）=x-xlnx-1，則?'（x）=-lnx
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，?'（x）＞0，?（x）↗，當(dāng)x＞1時(shí)，?'（x）＜0，?（x）↘
∴當(dāng)x=1時(shí)，?（x）取得唯一的極大值也是?（x）的最大值（?（x））_max=?（1）=0
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，g(x)∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]
故當(dāng)a∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]時(shí)，函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．考查了計(jì)算能力和分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．