Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知

3

（b²+c²-a²）=2bc，B=2A．
（1）求tanA；
（2）設(shè)

m

=（2sin（

π

4

-B），1），

n

=（sin（

π

4

+B），-1），求

m

•

n

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中的等式結(jié)合余弦定理加以計(jì)算，可得cosA=

3

3

，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系算出sinA=

6

3

，進(jìn)而可得tanA的值；
（2）根據(jù)B=2A，利用二倍角的三角函數(shù)公式算出sinB=

2 2

3

、cosB=-

1

3

，進(jìn)而算出2sin（

π

4

-B）與sin（

π

4

+B）的值，從而得到向量

m

、

n

的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可算出

m

•

n

的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，

3

（b²+c²-a²）=2bc，可得b²+c²-a²=

2 3

3

bc，
∴由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2 3 3 bc

2bc

=

3

3

又∵A是三角形的內(nèi)角，可得sinA=

1-cos2A

=

6

3

．
∴tanA=

sinA

cosA

=

2

；
（2）∵B=2A，cosA=

3

3

且sinA=

6

3

．
∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×

3

3

×

6

3

=

2 2

3

，cosB=cos2A=cos²A-sin²A=

1

3

-

2

3

=-

1

3

．
由此可得2sin（

π

4

-B）=2（sin

π

4

cosB-cos

π

4

sinB）=

2

（cosB-sinB）=

- 2 -4

3

，
sin（

π

4

+B）=sin

π

4

cosB+cos

π

4

sinB=

2

2

（cosB+sinB）=

- 2 +4

6

．
∴

m

=（2sin（

π

4

-B），1）=（

- 2 -4

3

，1），

n

=（sin（

π

4

+B），-1）=（

- 2 +4

6

，-1）
因此，

m

•

n

=

- 2 -4

3

•

- 2 +4

6

+1×（-1）=

2-16

18

-1=-

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊之間的平方關(guān)系式，求角A的三角函數(shù)值，并依此求向量

m

、

n

的數(shù)量積．著重考查了余弦定理、三角恒等變換公式與向量數(shù)量積公式等知識(shí)，屬于中檔題．