Question

過(guò)拋物線x²=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)P，并且滿足.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）知點(diǎn)F(0,1)，是否存在常數(shù)λ使得？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）設(shè)A(x₁,),B(x₂,)(x₁≠x₂),由x²=4y得y=，

∴y′=，∴k_PA=,k_PB=,

∵，

∴PA⊥PB，

∴k_PA·k_PB=-1得x₁x₂=-4,

直線PA的方程是y-= (x-x₁)即y=x-.①

直線PB的方程是y-=(x-x₂)即y=x-.②

由①②解得x=x₁+，(x₁,x₂∈R).

因此，所求點(diǎn)P的軌跡方程是y=-1.

（2）由（1）得=(x₁,-1), =(x₂,-1),=(,-2),

∵x₁x₂=-4,

∴-2--,=++2.

∴+=0，即，存在λ=1使得+λ=0成立.