Question

已知點P(4,4)，圓C：(x－m)²＋y²＝5(m＜3) 與橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)有一個公共點A(3,1)，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切.

(1)求m的值與橢圓E的方程；

(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍.

Answer 1

(1)點A代入圓C的方程，得(3－m)²＋1＝5，

∵m＜3，∴m＝1.圓C的方程為(x－1)²＋y²＝5.

設(shè)直線PF₁的斜率為k，則PF₁：y＝k(x－4)＋4，

即kx－y－4k＋4＝0.

∵直線PF₁與圓C相切，∴＝.

解得k＝，或k＝.

當(dāng)k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去.

當(dāng)k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標(biāo)為－4，

∴c＝4，F(xiàn)₁(－4,0)，F(xiàn)₂(4,0).

2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝5＋＝6，a＝3，

a²＝18，b²＝2.橢圓E的方程為：＋＝1.

(2)＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，

·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.

∵＋＝1，即x²＋(3y)²＝18，

而x²＋(3y)²≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.

則(x＋3y)²＝x²＋(3y)²＋6xy＝18＋6xy的取值范圍是[0,36].

x＋3y的取值范圍是[－6,6].

∴x＋3y－6的取值范圍是[－12,0]，

即·的取值范圍是[－12,0].