Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m對(duì)x∈[0，

π

2

]都成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析：（I）通過(guò)兩角和公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出答案．
（Ⅱ）要使不等式f（x）≥m恒成立只需m≤f（x）_min．通對(duì)x∈[0，

π

2

]，根據(jù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）求出f（x）的最小值，進(jìn)而求出答案．

解答：解：（I）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1
=1-cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x-

π

6

)+2
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)；
（Ⅱ）因?yàn)?span id="efn2jtr" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2∈[1，4]
故m≤1，即m的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)中的值域和定義域的問(wèn)題．關(guān)鍵是要把函數(shù)化簡(jiǎn)成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式．