Question

在△ABC中，已知角A為銳角，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，sinA=

2 2

3

．
（1）求tan2

B+C

2

+sin2

A

2

的值；
（2）若a=2

2

，S△ABC=

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由A為銳角，根據(jù)sinA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，再利用誘導公式化簡，整理后將cosA的值代入計算即可求出值；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將已知面積與sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入并利用完全平方公式化簡，把bc的值代入求出b²+c²的值，兩式聯(lián)立即可求出b的長．

解答：解：（1）∵在△ABC中，角A為銳角且sinA=

2 2

3

，
∴cosA=

1-sin2A

=

1

3

，
則原式=tan²

π-A

2

+sin²

A

2

=

sin2( π 2 - A 2 )

cos2( π 2 - A 2 )

+sin²

A

2

=

cos2 A 2

sin2 A 2

+sin²

A

2

=

1+cosA

1-cosA

+

1-cosA

2

=

1+ 1 3

1- 1 3

+

1- 1 3

2

=

7

3

；
（2）由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

2 2

3

=

2

，得bc=3①，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
即8=b²+c²-

2

3

bc=b²+c²-2，
整理得：b²+c²=10②，
由①②，
解得：b=1或b=3．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．