精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

在數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項和，已知a₁=1，a₂=3，且當n≥2時， $數(shù)學公式$ ．
（I）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（II）記 $數(shù)學公式$ ，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使等式 $數(shù)學公式$ 成立的n和整數(shù)λ的值．

解：（I）當n≥2時， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）
由S₁=1≠0，S₂=4≠0可知對一切正整數(shù)n都有S_n≠0
數(shù)列S_n是等比數(shù)列
（II）由（I）知數(shù)列S_n是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，S_n=4^n-1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
故當n≥2時， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
當n≥2時，T_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
若n=1，代入可得 $\text{[math]}$ 不是整數(shù)，故舍去
若n≥2時， $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 因為λ是整數(shù)
4^n-1+1是5的約數(shù)當且僅當n=2時符合條件
此時，λ=4，n=2
分析：（I）當n≥2時，由已知利用遞推公式可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），從而可證
（II）由（I）知，數(shù)列S_nS_n=4^n-1進而可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
代入可求， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ 容易求得T_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ ，代入所求的式子整理可求 n，λ
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的證明，利用遞推公式求解數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和，屬于綜合試題．

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lim

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