Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

sinA

a

=

3 cosC

c

．
（1）求角C的大�。�
（2）如果a+b=6，

CA

•

CB

=4，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理得到一個(gè)關(guān)系式，然后與已知條件聯(lián)立即可求出tanC的值，根據(jù)C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由（1）中C的度數(shù)，求出cosC的值，然后利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

CA

•

CB

=4，即可求出ab的值，利用余弦定理得到一個(gè)關(guān)系式，再由a+b的值和求出的ab代入關(guān)系式即可求出c的值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="9ymxisa" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

sinA

=

c

sinC

，

sinA

a

=

3 cosC

c

，
所以sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
由C∈（0，π），得到C=

π

3

；
（2）由（1）得：cosC=cos

π

3

=

1

2

則

CA

•

CB

=|

CA

|•|

CB

|cosC=

1

2

ab，又

CA

•

CB

=4，所以ab=8，
又因?yàn)閍+b=-6，根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，
由c＞0，解得c=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．