Question

已知函數(shù)f（x）=

3-x

x2+2x+1

，g（x）=

1

3

ax³-a²x（a≠0）
（1）當x∈[0，3]時，求f（x）的值域．
（2）對任意的x₁、x₂∈[0，3]，使f（x₁）+f（x₂）=g（x₃）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)，利用配方法，可得f（x）的值域．
（2）f（x₁）+f（x₂）的范圍是[0，6]，則y=g（x）的值域包含[0，6]，對g（x）求導，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

-(x+1)+4

(x+1)2

=4(

1

x+1

)2-(

1

x+1

)=4(

1

x+1

-

1

8

)2-

1

16

∵0≤x≤3，∴

1

4

≤

1

x+1

≤1，∴0≤f（x）≤3
∴f（x）的值域為[0，3]；
（2）f（x₁）+f（x₂）的范圍是[0，6]，則y=g（x）的值域包含[0，6]
∵g（x）=

1

3

ax³-a²x，∴g′（x）=a（x²-a），x∈[0，3]，
a＜0時，g′（x）＞0，∴

a

＜x≤3；g′（x）＜0，∴0≤x＜

a

∴g（x）在[0，

a

）上單調(diào)遞減，在（

a

，3]上單調(diào)遞增
顯然g（

a

）＜g（0）=0
由題意可知，g（3）≥6，即a²-3a+2≤0，∴1≤a≤2
a≥9時，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，3]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0），不合題意
綜上，1≤a≤2．

點評：本題考查函數(shù)的值域，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．