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          我們常用構(gòu)造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式可得，左邊的系數(shù)為，
          


          而右邊， 的系數(shù)為，
          


          由恒成立，可得．
          


          利用上述方法，化簡      ．
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          


          【解析】
          


          試題分析：構(gòu)造等式（x-1）2n?（x+1）2n=（x2-1）2n，由左式可得x2n的系數(shù)為C2n2n?（-1）2nC2n0+C2n2n-1?（-1）2n-1C2n1+C2n2n-2?（-1）2n-2C2n2+…+C2n0?（-1）0C2n2n，即（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2，由右式可得得x2n的系數(shù)為（-1）nC2nn，故有（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn，
          


          考點：本題考查了組合數(shù)的運用
          


          點評：對于此類組合數(shù)的應用問題，常常涉及二項式定理的應用，關(guān)鍵要根據(jù)題意，充分利用組合數(shù)的性質(zhì)．
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （Ⅰ）求證：
          C
          m
          n
          =
          n
          m
          C
          m-1
          n-1
          ；
          （Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；   
          （Ⅲ）其實我們常借用構(gòu)造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
          (1+x)[1-(1+x)n]
          1-(1+x)
          =
          (1+x)n+1-(1+x)
          x
          ；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．
          

			
          

			
          
			查看答案和解析>>		
          
				
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          我們常用構(gòu)造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n可得，左邊xn的系數(shù)為
          C
          n
          2n
          ，而右邊(1+x)n(1+x)n=(
          C
          0
          n
          +
          C
          1
          n
          x+
          C
          2
          n
          x2+…+
          C
          n
          n
          xn)(
          C
          0
          n
          +
          C
          1
          n
          x+
          C
          2
          n
          x2+…+
          C
          n
          n
          xn)          ，xn的系數(shù)為
          C
          0
          n
          C
          n
          n
          +
          C
          1
          n
          C
          n-1
          n
          +
          C
          2
          n
          C
          n-2
          n
          +…+
          C
          n
          n
          C
          0
          n
          =(
          C
          0
          n
          )2+(
          C
          1
          n
          )2+(
          C
          2
          n
          )2+…+(
          C
          n
          n
          )2          ，由（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n恒成立，可得(
          C
          0
          n
          )2+(
          C
          1
          n
          )2+(
          C
          2
          n
          )2+…+(
          C
          n
          n
          )2=
          C
          n
          2n
          ．
          利用上述方法，化簡(
          C
          0
          2n
          )2-(
          C
          1
          2n
          )2+(
          C
          2
          2n
          )2-(
          C
          3
          2n
          )2+…+(
          C
          2n
          2n
          )2          =
          (-1)n
          C
          n
          2n
          (-1)n
          C
          n
          2n
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高…
          請結(jié)合二項式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
          證明：
          （1）
          n
          r=0
          (
          C
          r
          n
          )2=
          C
          n
          2n
          ；  
          （2）
          m
          r=0
          (
          C
          r
          n
          C
          m-r
          n
          )=
          C
          m
          2n
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          我們常用構(gòu)造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n可得，左邊xn的系數(shù)為
          Cn2n
          ，而右邊(1+x)n(1+x)n=(
          C0n
          +
          C1n
          x+
          C2n
          x2+…+
          Cnn
          xn)(
          C0n
          +
          C1n
          x+
          C2n
          x2+…+
          Cnn
          xn)          ，xn的系數(shù)為
          C0n
          Cnn
          +
          C1n
          Cn-1n
          +
          C2n
          Cn-2n
          +…+
          Cnn
          C0n
          =(
          C0n
          )2+(
          C1n
          )2+(
          C2n
          )2+…+(
          Cnn
          )2          ，由（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n恒成立，可得(
          C0n
          )2+(
          C1n
          )2+(
          C2n
          )2+…+(
          Cnn
          )2=
          Cn2n
          ．
          利用上述方法，化簡(
          C02n
          )2-(
          C12n
          )2+(
          C22n
          )2-(
          C32n
          )2+…+(
          C2n2n
          )2          =______．
          

			
          

			
          
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