Question

若 0≤x≤2π，

1+2sin2x

=sinx+cosx，則x的取值范圍是（　�。�

• A、[0，π]
• B、[

  π

  4

  ，

  5π

  4

  ]
• C、[

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]∪[

  5π

  4

  ，2π]
• D、[0，

  3π

  4

  ]∪[

  7π

  4

  ，2π]

Answer 1

分析：已知等式左邊被開(kāi)方數(shù)利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，得到sinx+cosx≥0，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出x的范圍即可．

解答：解：∵

1+2sin2x

=

sin2x+2sinxcosx+cos2x

=

(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=sinx+cosx，
∴sinx+cosx≥0，
即

2

sin（x+

π

4

）≥0，
∵0≤x≤2π，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

9π

4

，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤π或2π≤x+

π

4

≤

9π

4

，
解得：0≤x≤

3π

4

或

7π

4

≤x≤2π，
則x的取值范圍為[0，

3π

4

]∪[

7π

4

，2π]．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的應(yīng)用，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．