Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，n∈N^*，a_n＞0，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足an+1=

2

Sn+1+Sn-1

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{S_n}中存在若干項(xiàng)，按從小到大的順序排列組成一個(gè)以S₁為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列{b_n}，
①求數(shù)列{b_n}的項(xiàng)數(shù)k與n的關(guān)系式k=k（n）；
②記cn=

1

k(n)-1

(n≥2)，求證：

n

i=2

ci∈[

1

3

，

2

3

)．

Answer 1

分析：（1）利用an+1=

2

Sn+1+Sn-1

，可得Sn+1-Sn=

2

Sn+1+Sn-1

，從而可得數(shù)列{(Sn-

1

2

)2}是以

1

4

為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求S_n，利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）①先確定b_n=3^n-1，再設(shè)b_n是數(shù)列{S_n}中的第k項(xiàng)，即可求得結(jié)論；
②n≥2時(shí)，cn=

1

k(n)-1

=2(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)＜2(

1

3n-1

-

1

3n

)，由此可證結(jié)論．

解答：（1）解：∵an+1=

2

Sn+1+Sn-1

∴Sn+1-Sn=

2

Sn+1+Sn-1

∴(Sn+1-

1

2

)2-(Sn-

1

2

)2=2
∵a₁=1，∴(S1-

1

2

)2=

1

4

∴數(shù)列{(Sn-

1

2

)2}是以

1

4

為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴(Sn-

1

2

)2=

1

4

+2(n-1)=

8n-7

4

∵a₁=1，a_n＞0，
∴S_n＞1
∴Sn=

1

2

+

8n-7

2

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

8n-7 - 8n-15

2

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴a_n=

1，n=1 8n-7 - 8n-15 2 ，n≥2

；
（2）①解：∵數(shù)列{S_n}中存在若干項(xiàng)，按從小到大的順序排列組成一個(gè)以S₁為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列{b_n}，
∴b_n=3^n-1
設(shè)b_n是數(shù)列{S_n}中的第k項(xiàng)，即

1

2

+

8k-7

2

=3n-1，∴k=

(3n-1-1)•3n-1

2

+1
∴k(n)=

(3n-1-1)•3n-1

2

+1；
②證明：n≥2時(shí)，cn=

1

k(n)-1

=2(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)＜2(

1

3n-1

-

1

3n

)，
∴

n

i=2

ci＜2[(

1

3

-

1

32

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n

)]=2(

1

3

-

1

3n

)＜

2

3

∵

n

i=2

ci≥c2=

1

3

∴

n

i=2

ci∈[

1

3

，

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查不等式的證明，同時(shí)考查了推理論證能力，屬于中檔題．