Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列滿足：，

   （I）求得值；

   （II）設(shè)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；

   （III）對(duì)任意的，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項(xiàng)，并證明這項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052113252135938643/SYS201205211326291718599291_DA.files/image001.png">，

        ………………3分

 

   （II）由題意，對(duì)于任意的正整數(shù)，

所以            ………………4分

又

所以           ………………6分

又        ………………7分

所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以 ………………8分

   （III）存在，事實(shí)上，對(duì)任意的中，

這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列………………10分

我們先來證明：

“對(duì)任意的”

由（II）得

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，

記

因此要證

其中

   （這是因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052113252135938643/SYS201205211326291718599291_DA.files/image021.png">時(shí)，則k一定是奇數(shù)）

有

如此遞推，要證

其中

如此遞推下去，我們只需證明

即，由（I）可得，

所以對(duì)

對(duì)任意的

所以

又

所以這連續(xù)的項(xiàng)，

是首項(xiàng)為的等差數(shù)列。 ………………13分

說明：當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052113252135938643/SYS201205211326291718599291_DA.files/image036.png">構(gòu)成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，所以從這個(gè)數(shù)列中任取連續(xù)的項(xiàng)，也是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列。

【解析】略