Question

將方程x+tanx=0的正根從小到大地依次排列為a₁，a₂，…，a_n，…，給出以下不等式：①0＜an+1-an＜

π

2

；②

π

2

＜an+1-an＜π；③2a_n+1＞a_n+2+a_n；④2a_n+1＜a_n+2+a_n；其中，正確的判斷是

②④

．（請寫出正確的序號）

Answer 1

分析：在同一坐標(biāo)系中分別畫出直線y₁=-x及正切曲線y₂=tanx的圖象，借助圖象分析方程x+tanx=0的正根的分布情況及變化規(guī)律，進(jìn)而可得答案．

解答：解：分別作直線y₁=-x及正切曲線y₂=tanx的圖象如圖所示：
則兩者的交點(diǎn)即為x+tanx=0的根
則在正切函數(shù)的每一個周期π內(nèi)，y₁與y₂都有一個交點(diǎn)，
由圖可得兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的差大于正切函數(shù)的半個周期，
但不超過正切函數(shù)的一個周期
∴

π

2

＜a_n+1-a_n＜π，故②對①錯．
從原點(diǎn)向右距離越來越大
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，即：2a_n+1＜a_n+2+a_n；
故④對③錯．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，畫出兩個函數(shù)的圖象，借助圖象直觀分析是解答的關(guān)鍵．