Question

已知函數(shù)f（x）=mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），B（-1，0），且函數(shù)h(x)=2p

x

（p＞0）與函數(shù)f（x）=mx+n的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）與h（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的最小值與單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程log₄[f（x-1）-1]=log₂h（a-x）-log₂h（4-x）．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（1，2），B（-1，0），坐標(biāo)代入f（x）=mx+n可得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而聯(lián)立方程后根據(jù)函數(shù)h(x)=2p

x

（p＞0）與函數(shù)f（x）=mx+n的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系求出p值，得到h（x）的解析式；
（2）由（1）求出函數(shù)F（x）=f（x）-h（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得F（x）的最小值與單調(diào)區(qū)間；
（3）原方程可化為：log₂（

4-x

•

x-1

）=log₂

a-x

，即

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），B（-1，0），
∴

m+n=2 -m+n=0

解得：m=n=1
∴f（x）=x+1
由函數(shù)h(x)=2p

x

（p＞0）與函數(shù)f（x）=x+1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
可得x-2p

x

+1=0有且只有一個(gè)解
即△=4p²-4=0，
又∵p＞0
∴p=1
∴h(x)=2

x

（2）由（1）得F（x）=f（x）-h（x）=x-2

x

+1=（

x

-1）²，
當(dāng)

x

=1，即x=1時(shí)，F(xiàn)（x）_min=0．         …（6分）
F（x）在[0，1]為減函數(shù)，在[1，+∞）為增函數(shù)．   …（8分）
（3）原方程可化為：log₄（x-1）=log₂

a-x

-log₂

4-x

即

1

2

log₂（x-1）=log₂

a-x

-log₂

4-x

即

1

2

log₂（x-1）+log₂

4-x

=log₂（

4-x

•

x-1

）=log₂

a-x

即

x-1＞0 4-x＞0 a-x＞0 a-x=(x-1)(4-x)

即

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

…（10分）
令y═-（x-3）²+5

由上圖可知：
①當(dāng)1＜a≤4時(shí)，原方程有一解：x=3-

5-a

②當(dāng)4＜a＜5時(shí)，原方程有兩解：x=3-

5-a

，x=3+

5-a

，
③當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解：x=3
④當(dāng)a≤1或a＞5時(shí)，原方程無解

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．