Question

【題目】在如圖所示的四棱錐中，四邊形為正方形，，平面，且、、分別為、、的中點(diǎn)，.

⑴證明：平面；

⑵若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】⑴證明見解析；⑵.

【解析】

試題分析：⑴做輔助線，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)平面；⑵由平面

，又平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，平面的法向量為. 由圖可知，二面角為鈍角二面角的余弦值為.

試題解析：⑴證明：連結(jié)，分別交、于點(diǎn)、，連結(jié)、，

∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴.……………………2分

又，∴為中點(diǎn)，又，，∴為中點(diǎn)，

∴，∴.……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面.………………………………5分

⑵解：∵平面，∴，又，，

∴平面.……………………………………6分

如圖 ，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

則，，………………………………7分

∵平面，∴平面的一個法向量.…………8分

設(shè)平面的法向量為，

則，即，…………………………9分

令，則，，∴，…………10分

∴.……………………………………11分

由圖可知，二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.……………………………………12分