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          設f（x）是定于在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≤2，則關于函數(shù)f（x）有：
          （1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
          （2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
          （3）對任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
          （4）當x∈（0，1），函數(shù)y=
          f(x)
          x
          +x為減函數(shù)．
          上述四個命題中正確的有
          （2）（3）
          （2）（3）
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：觀察四個命題（1）（2）兩個不能同時成立，對于命題（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，利用基本不等式證明；
          （3）證明函數(shù)f（x）為常數(shù)即可．（4）利用（3）的結論證明（4）．
          解答：解：因為對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
          所以令x1=x，x2=1-x，則
          f(x)
          f(1-x)
          +
          f(1-x)
          f(x)
          ≥2
          f(x)
          f(1-x)
          ?
          f(1-x)
          f(x)
          =2          ，
          由②知
          f(x)
          f(1-x)
          +
          f(1-x)
          f(x)
          ≤2          ，所以必有
          f(x)
          f(1-x)
          +
          f(1-x)
          f(x)
          =2          ，當且僅當
          f(x)
          f(1-x)
          =
          f(1-x)
          f(x)
          =1          ，即f（x）=f（1-x）時取等號，所以（1）錯誤，（2）正確．
          （3）將②中的變量x1，x2，交換位置得
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          ≤2          ，③，將②③相加得
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          +
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≤4          ，
          因為
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(x 1)
          f(x2)
          ≥2
          f(x2)
          f(x1)
          ?
          f(x 1)
          f(x2)
          =2          ，
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≥2
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          ?
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          =2          ，
          所以
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(x 1)
          f(x2)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≥4          ，所以
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(x 1)
          f(x2)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          =4          ，
          當且僅當，
          f(x2)
          f(x1)
          =
          f(x 1)
          f(x2)
          =1，
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          =
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          =1          ，取等號，所以f（x1）=f（x2），即對任意的變量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
          所以f（x）為常數(shù)，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
          （4）因為f（x）為常數(shù)，所以設f（x）=c＞0，
          所以y=
          f(x)
          x
          +x=
          c
          x
          +x          ，函數(shù)的導數(shù)為y'=1-
          c
          x2
          ，當x＞0時，由y'＜0得，0＜x＜
          		c
          ，所以函數(shù)在（0，
          		c
          ）上單調遞減，所以當c＜1時，函數(shù)y=
          f(x)
          x
          +x為減函數(shù)不一定正確．
          故正確的是（2）（3）．
          點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應用，解決本題的關鍵是構造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據(jù)，綜合性較強，難度較大．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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