Question

如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB₁上一點(diǎn)．
（1）求證：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer 1

（1）證明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，所以BB₁D₁D是平行四邊形，
所以B₁D₁∥BD．
而B(niǎo)D?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）證明：因?yàn)锽B₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC，
又因?yàn)锽D⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥面BB₁D，
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．
（3）當(dāng)點(diǎn)M為棱BB₁的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D
取DC的中點(diǎn)N，D₁C₁的中點(diǎn)N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM．
因?yàn)镹是DC中點(diǎn)，BD=BC，所以BN⊥DC；又因?yàn)镈C是面ABCD與面DCC₁D₁的交線，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁．
又可證得，O是NN₁的中點(diǎn)，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以O(shè)M⊥平面CC₁D₁D，因?yàn)镺M?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．