Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2

2

，AA₁=2，點M是BC的中點，P是平面A₁BCD₁內(nèi)的一個動點，且滿足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距離相等，則點P的軌跡的長度為（　�。�

• A．π
• B．

  2

  3

  π
• C．2

  2

• D．2

Answer 1

分析：由題意畫出幾何體的圖形，判斷滿足橢圓的點P的位置是圖中線段EF，求出EF的長度即可．

解答：解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2

2

，AA₁=2，
點M是BC的中點，P是平面A₁BCD₁內(nèi)的一個動點，
且滿足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距離相等，
如圖，P在平面A₁D₁CB中GN（G是A₁B的中點，N是D₁C的中點）的線段EF，
滿足GE=FN=

2

-1，Q為GN的中點，QM=

1

2

BA1=

1

2

×

22+(2 2 )2

=

3

，ME=2，
所以EQ=

22-( 3 )2

=1，同理QF=1，
所以EF=2，
∴點P的軌跡的長度為2．
故選D．

點評：本題考查點線面間距離的計算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意化空間問題為平面問題．考查空間想象能力．