Question

已知曲線，曲線C₂：y=x³-3x²+3x
（1）求過點（1，1）的切線方程；
（2）曲線C₁經(jīng)過何種變化可得到曲線C₂？

Answer 1

解：（1）設切點為P（），則，
所以，過點P的切線方程為：，
因為切線過點（1，1），所以有，
整理得：，即，所以，，
也就是，解得：x₀=1或．
所以，當（1，1）為切點時，過點（1，1）的切線方程為：y-1=3（x-1），即y=3x-2．
當（1，1）不是切點時，過點（1，1）的切線方程為：，即．
（2）由y=x³-3x²+3x=x³-3x²+3x-1+1=（x-1）³+1．
所以y=x³-3x²+3x是把y=x³向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到的．
即曲線C₁向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到曲線C₂．
分析：（1）設出切點坐標，求出曲線在切點處的導數(shù)，運用點斜式寫出切線方程，把點（1，1）代入切線方程求解切點的橫坐標，然后再把求得的切點橫坐標代回切線方程即可；
（2）把曲線C₂：y=x³-3x²+3x變形為y=（x-1）³+1，則直觀看出該函數(shù)圖象是把曲線經(jīng)過如何變化得到的．
點評：本題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，解答該題時一定要區(qū)分是求的曲線在某點處的切線方程還是過某點的切線方程，若是求的曲線在某點處的切線方程，則該點為切點，切線方程唯一，若求的是過某點的切線方程，則該點不見得是切點，需要設切點坐標．此題是好題，也是易錯題，屬中檔題．