Question

（2009•成都模擬）在等差數列{a_n}中，已知a₄=-3，且a₁-2、a₃、a₅成等比數列，n∈N^*
（Ⅰ）求數列{a_n}的公差d；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得a₁=-3-3d，a₃=-3-d，a₅=-3+d，（-3-3d）²=（-3-3d-2 ）（-3+3d ），解方程求得d的值．
（Ⅱ）根據d的值求出數列的通項公式，由數列的通項公式判斷數列的單調性，從而求出它的最值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得 a₁=-3-3d，a₃=-3-d，a₅=-3+d．
∵a32=（a₁-2 ）a₅ ，
∴（-3-d）²=（-3-3d-2 ）（-3+3d ）．
解得 d=1，或d=-

3

2

．
（Ⅱ）①當d=1 時，a_n=-3+（n-4）d=n-7，故此數列為遞增數列．
令 a_n=0 可得 n=7，故當n=6 或n=7時，S_n 取得最小值為-21，且S_n 不存在最大值．
②當 d=-

3

2

時，a_n=-3+（n-4）（-

3

2

）=-

3

2

 n+3，故此數列為遞減數列．
令a_n=0 可得 n=2，故當n=1 或n=2時，S_n 取得最大值為

3

2

，且S_n 不存在最小值．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等差數列的通項公式，以及數列的函數特性，屬于中檔題．