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        1. 已知雙曲線的兩條漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且與以A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱.
          (1)求雙曲線的方程;
          (2)是否存在過A點(diǎn)的一條直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn),且線段MN被直線x=-1平分.如果存在,求出直線的方程;如果不存在,說明理由.
          【答案】分析:(1)先確定雙曲線頂點(diǎn)的坐標(biāo),再利用雙曲線的漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且與以A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切,求得漸近線方程,從而求出雙曲線的方程;
          (2)先假設(shè)存在,與雙曲線方程聯(lián)立,利用線段MN被直線x=-1平分,求參數(shù)的值,再進(jìn)行驗(yàn)證即可.
          解答:解:(1)由題意得,∵雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱
          ∴頂點(diǎn)A'(0,
          設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=kx
          ∵雙曲線的漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且與以A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切
          ∴k=1
          ∴雙曲線的方程為
          (2)設(shè)過A點(diǎn)的一條直線方程為,
          代入雙曲線方程并化簡得
          由題意,,即
          經(jīng)驗(yàn)證,滿足題意
          ∴直線方程為
          點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題,主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,關(guān)鍵是合理運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì),對于是否存在性問題,通常轉(zhuǎn)化為封閉型問題求解.
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