Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E為AB的中點，現將△AED沿DE折起，使點A到點P處，滿足PB=PC，設M、H分別為PC、DE的中點．
（1）求證：BM∥平面PDE；
（2）線段BC上是否存在一點N，使BC⊥平面PHN？試證明你的結論；
（3）求△PBC的面積．

Answer 1

證明：（1）取PD的中點F，連接EF，FM
由條件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半
∴FM∥EB，且FM=EB
則四邊形EFMB是平行四邊形
則BM∥EF
∵BM?平面PDE，EF?平面PDE
∴BM∥平面PDE；
解：（2）當N為BC的中點時，BC⊥平面PHN，理由如下：
由題意得，HN為直角梯形BCDE的中位線
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN，
（3）由（2）中結論可得，BC⊥PH，
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
則PH⊥HN，即△PHN為直角三角形
∵AB=2AD=4，E為AB的中點
∴BC=2，HN=3，PH=，則PN=
∴△PBC的面積S=•BC•PN=
分析：（1）取PD的中點F，連接EF，FM，由中位定理，及平行四邊形判定定理易得四邊形EFMB是平行四邊形，進而BM∥EF，再由線面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；
（2）取N為BC的中點，連接HN，易得HN為直角梯形BCDE的中位線，結合PB=PC，我們可得HN⊥BC，PN⊥BC，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PHN；
（3）由已知中△PBC是以BC為底，PN為高的三角形，根據（2）的結論，我們易得△PHN為直角三角形，根據已知中AB=2AD=4，求出△PBC的底邊長和高，代入三角形面積公式，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關系的定義、判定定理、性質定理是解答本題的關鍵．