Question

已知函數(shù)f（x）=1n（1+x）-ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，過點(diǎn)P（-1，0）作曲線y=f（x）的切線，求切線的方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)0＜y＜x＜1時(shí)，證明：1nx-1ny＞1n（x-y）+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=0代入f（x），設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，再結(jié)合切線過點(diǎn)（-1，0），即可求得切線方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），對a進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到答案；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，根據(jù)0＜a＜1時(shí)，確定出f（x）的最小值M（a），利用導(dǎo)數(shù)確定M（a）的單調(diào)性，根據(jù)0＜y＜x＜1，得到M（y）＞M（x），再利用M（a）＞0，即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ln（1+x），則f′（x）=

1

1+x

，
設(shè)切點(diǎn)P（x₀，ln（1+x₀）），
∴k=f′（x₀）=

1

1+x0

，
由點(diǎn)斜式，可得切線方程為y-ln（1+x₀）=

1

1+x0

（x-x₀），
又切線過點(diǎn)P（-1，0），則-ln（1+x₀）=

1

1+x0

（-1-x₀），
∴x₀=e-1，
∴切線方程為x-ey+1=0；
（Ⅱ）∵f（x）=1n（1+x）-ax（a∈R），則f′（x）=

1

1+x

-a，且當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，

1

1+x

∈（0，1]，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=

1

1+x

-a≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在∈[0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）=

1

1+x

-a≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在∈[0，+∞）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）=

1

1+x

-a＞0，可得0≤x＜

1-a

a

，令f′（x）=

1

1+x

-a＜0，可得x＞

1-a

a

，
∴f（x）在∈[0，

1-a

a

）上單調(diào)遞增，在（

1-a

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
綜合①②③，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在∈[0，

1-a

a

）上單調(diào)遞增，在（

1-a

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在∈[0，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由（Ⅱ）可知，f（x）的最大值為M（a）=-lna+a-1，
∵M(jìn)′（a）=

a-1

a

＜0在（0，1）上恒成立，
∴M（a）=-lna+a-1在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴M（a）=-lna+a-1＞M（1）=0，即-lna+a-1＞0，
∴-ln（x-y）+x-y-1＞0，即x-y＞ln（x-y）+1，
∵0＜y＜x＜1，
∴M（y）＞M（x），即-lny+y-1＞-lnx+x-1，
∴l(xiāng)nx-lny＞x-y＞ln（x-y）+1，
故當(dāng)0＜y＜x＜1時(shí)，1nx-1ny＞1n（x-y）+1．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)曲線上某點(diǎn)處的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題．要注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的增減，本題同時(shí)涉及了運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想證明不等式．屬于難題．