Question

（2013•淄博一模）在一個(gè)盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個(gè)小球，從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后摸得兩球，所得分?jǐn)?shù)分別記為x、y，設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x-2），x-y），記ξ=|

OP

|²．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x，y可能的取值為1、2、3，僅有x=1，y=3或x=3，y=1時(shí)隨機(jī)變量ξ的最大值為5，可得符合題意的基本事件有2個(gè)，而總的基本事有件3×3=9種，由古典概型可得概率；
（Ⅱ）ξ的所有的取值為0，1，2，5，同（1）的求法分別可求得概率，列表可得分布列，由期望的定義可得期望值．

解答：解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值為1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）²+（x-y）²≤5，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時(shí)，ξ=5，
因此隨機(jī)變量ξ的最大值為5，因?yàn)橛蟹呕孛�兩球所有情況有3×3=9種，
∴P（ξ=5）=

2

9

；
（Ⅱ）ξ的所有的取值為0，1，2，5
∵ξ=0時(shí)，只有x=2，y=2這一情況，
ξ=1時(shí)，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時(shí)，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況，
∴P（ξ=0）=

1

9

，P（ξ=1）=

4

9

，P（ξ=2）=

2

9

，
故隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	5
P	1 9	4 9	2 9	2 9

因此數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+5×

2

9

=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及分布列，涉及數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題．