Question

【題目】已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與橢圓:相切，且橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為平面上一定點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得,即可得到準(zhǔn)線(xiàn)方程,又由于橢圓相切可得,再利用橢圓的離心率求得,進(jìn)而求解；

（2）分別討論直線(xiàn)斜率為0與直線(xiàn)斜率不為0的情況,利用斜率公式處理,對(duì)于直線(xiàn)斜率不為0的情況,設(shè)直線(xiàn)為,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,由韋達(dá)定理可得的關(guān)系,代入中即可求解.

（1）拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn),,即,

∴拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為,∴,

又∵,∴,,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）,右焦點(diǎn),

若直線(xiàn)斜率為0,則不妨設(shè),,

∴,滿(mǎn)足條件,此時(shí)直線(xiàn)的方程為；

若直線(xiàn)的斜率不為0,設(shè)的方程為,

與橢圓的方程聯(lián)立得:,可得恒成立,

設(shè),,由韋達(dá)定理得,,①

∴,

將①代入得,解得,

綜上所述,直線(xiàn)的方程為或.