Question

（本小題滿分l2分）已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）判斷并說(shuō)明上是否存在點(diǎn)，使得∥平面；

（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析

（2）滿足AG=1/4AP的點(diǎn)G即為所求

（3）

【解析】解：解法一：（Ⅰ）∵平面ABCD，，

AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

 

則A(0，0,0)B(1,0,0)F(1,1,0)D(0,2,0)．，………2分

不妨令P(0,0,t)∵，

∴，

即．…………………………4分

（Ⅱ）設(shè)平面PFD的法向量為，

由，得，令z=1，解得：x=y=t/2．

∴．   ………………………………………………………6分

設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,m)，E(1/2,0,0)，則，

要使EG∥平面PFD，只需，即，

得m=1/4t，從而滿足AG=1/4AP的點(diǎn)G即為所求．……………………………8分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，

…………………………………………………………………………………9分

又∵PA平面ABCD，∴是PB與平面ABCD所成的角，

得，PA=1，平面PFD的法向量為    ……10分

∴，

故所求二面角A=PD-F的余弦值為．………12分

解法二：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF=，DF=，

又AD=2，∴ ，∴    ……2分

又，∴ ，又，

∴ ……4分

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)，則∥平面，且有…5分

再過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則∥平面且，

∴  平面∥平面      …………………7分∴  ∥平面．

從而滿足的點(diǎn)即為所求．  ……………………………………………8分

（Ⅲ）∵平面ABCD，∴是PB與平面ABCD所成的角，且．

∴ PA=AB=1   ………………………………………………………………9分

取AD的中點(diǎn)M，則FMAD，F(xiàn)M平面PAD，

在平面PAD中，過(guò)M作MNPD于M，連接FN，則PD面FMN，

則即為二面角A-PD-F的平面角………………………10分

∵∽，∴ ，

∵，且

∴  ，，

∴  ……………12分