Question

已知函數(shù)．
（1）若x∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值及此時(shí)x的值；
（3）若，，求sin2x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+），令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍可得2x+∈，由此求得函數(shù)f（x）的最小值以及此時(shí)x的值．
（3）由條件求得sin（2x+）=．再根據(jù)（2x+）為鈍角可得cos（2x+）=-，由sin2x₀ =sin[（2x+）-]，利用兩角差的正弦公式求得結(jié)果．
解答：解：（1）∵函數(shù)=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）∵x∈，∴2x+∈，故當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-1．
（3）若，，則有2sin（2x+）=，sin（2x+）=．
再由（2x+）為鈍角可得cos（2x+）=-，
∴sin2x₀ =sin[（2x+）-]=sin（2x+）cos-cos（2x+）sin==．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．