Question

（本小題14分）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；    

（2）求證:直線(xiàn)與直線(xiàn)斜率的乘積為定值；

（3）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

    故橢圓的方程為                   ……………………………4分

（2）設(shè)直線(xiàn)AS的斜率，直線(xiàn)BS的斜率的乘積為=………………..8分

（3）解法一：直線(xiàn)AS的斜率顯然存在，且>0，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

從而   由(2)知直線(xiàn)BS的方程為

從而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

線(xiàn)段的長(zhǎng)度取最小值   ……………………………………………14分

解法二：直線(xiàn)AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

從而        由得0      

設(shè)則得，從而                       

即又由得 

故   又    當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度取最小值   ………………………14分

 

【解析】略