Question

（2012•吉林二模）如圖△ABC內(nèi)接于圓O，AB=AC，直線MN切圓O于點(diǎn)C，BD∥MN，AC與BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=AD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer 1

分析：（1）證明AE=AD，只需證明∠AED=∠ADB．先證明∠AED=∠ABC，再證明∠AED=∠ACB即可；
（2）先證明△ABE≌△ACD，可得BE=CD=BC=4，設(shè)AE=x，利用△ABE∽△DEC，可得DE=

2

3

x，利用相交弦定理，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵BD∥MN，∴∠AED=∠ACN．
又∵M(jìn)N為圓的切線，∴∠ACN=∠ABC，∴∠AED=∠ABC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∴∠AED=∠ACB．
又∵∠ADB=∠ACB，∴∠AED=∠ADB
∴AE=AD …（5分）
（2）解：∵∠ACD=∠ABD，∠CAD=∠CAB，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD=BC=4
設(shè)AE=x，∵∠ECD=∠BEA，∠AEB=∠DCE
∴△ABE∽△DEC
∴DE=

2

3

x，
∵AE×EC=BE×ED，
∴x×（6-x）=4×

2

3

x
∴x=

10

3

  …（10分）

點(diǎn)評：本題考查圓內(nèi)接四邊的性質(zhì)，考查三角形的全等與相似，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．