Question

函數(shù)y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0，|∅|＜π）的圖象上有兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)P（

π

4

，5）和最低點(diǎn)Q（-

π

12

，-5）．求
（Ⅰ）此函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）說(shuō)明此函數(shù)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)的最值，得到A=5．根據(jù)兩個(gè)相鄰最值點(diǎn)的距離，得到周期T=

2π

3

，利用周期公式算出ω=3．再根據(jù)x=

π

4

時(shí)函數(shù)有最大值5建立關(guān)于∅的等式，解出∅=-

π

4

即可得到所求函數(shù)的解析式；
（II）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移、伸縮的公式，結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式加以計(jì)算，即可得出由y=sinx的圖象到所求函數(shù)的圖象所需經(jīng)過(guò)的變換．

解答：解：（I）∵圖象上有兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)P（

π

4

，5）和最低點(diǎn)Q（-

π

12

，-5）．
∴振幅A=5，函數(shù)的周期T=2[

π

4

-（-

π

12

）]=

2π

3

，
可得

2π

ω

═

2π

3

，解之得ω=3．
可得函數(shù)表達(dá)式為y=5sin（3x+∅）．
∵當(dāng)x=

π

4

時(shí)，函數(shù)有最大值5，
∴5=5sin（3•

π

4

+∅），得sin（

3π

4

+∅）=1，
可得

3π

4

+∅=

π

2

+2kπ（k∈Z），結(jié)合|∅|＜π，取k=0得∅=-

π

4

．
∴此函數(shù)的解析式為y=5sin（3x-

π

4

）；
（2）由三角函數(shù)的變換公式，將y=sinx的圖象向右平移

π

4

單位，得到y(tǒng)=sin（x-

π

4

）的圖象；
再將所得圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

3

倍，得到y(tǒng)=sin（3x-

π

4

）的圖象；
最后將所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍，得到y(tǒng)=5sin（3x-

π

4

）的圖象．
∴函數(shù)y=5sin（3x-

π

4

）的圖象，可由y=sinx的圖象先向右平移

π

4

單位，再將所得圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變且橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

3

倍，最后將所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變且縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍而得到．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正弦型三角函數(shù)的圖象滿(mǎn)足的條件，求它的解析式．著重考查了三角函數(shù)的周期公式、三角函數(shù)的圖象的變換與解析式的求法等知識(shí)，屬于中檔題．