Question

19.如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a,點E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

（Ⅰ）證明：PA⊥平面ABCD;

（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大��；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論.

Answer 1

19.（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,所以AB=AD =AC=a.

在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²,知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解:作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC.

∠EHG為二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1,

所以EG=a,AG=a,GH=AGsin60°=a.

從而tanθ==,θ=30°.

（Ⅲ）解法一:以A為坐標(biāo)原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為

A（0,0,0），B（a,－a,0），C（a,a,0），D（0,a,0）,P（0,0,a），E（0,a,a）.

所以=（0,a,a）,=（a,a,0）,

=（0,0,a）,=（a,a,－a）,

=（－a,a,a）.

設(shè)點F是棱PC上的點，=λ=（aλ,aλ,－aλ）,其中0＜λ＜1,則

=+=（－a,a,a）+（aλ,aλ,－aλ）

=（a（λ－1）,a（1+λ）,a（1－λ））.

令=λ₁+λ₂,得

　即

解得λ=,λ₁=－,λ₂=.

即λ=時，=－+.

亦即，F是PC的中點時，、、共面.

又BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC.

解法二:當(dāng)F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC.證明如下.

證法一:取PE的中點M，連結(jié)FM，則FM∥CE.                                ①

由EM=PE=ED,知E是MD的中點.

連結(jié)BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點.

所以BM∥OE.                                                                                   ②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC.

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.

證法二

因為 = +=+ （+）

=++

=+（－）+（－）

=－,

所以、、共面.

又BF平面AEC，從而BF∥平面AEC.