Question

【題目】設函數(shù) ，的導函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）對于曲線上的不同兩點，，，求證：在內存在唯一的，使直線的斜率等于.

Answer 1

【答案】(1)a＞0時， 上單調遞增，在上單調遞減.時在（0，+∞）單調遞減. (2)見證明

【解析】

（1）對a分兩種情況討論，利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）即 只需證明，且唯一．再構造函數(shù)證明得解.

解：（1），

又的定義域為

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；

當時，

該函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）∵，

∴，化簡得

即

因此，要證明原命題成立，只需證明

，且唯一．

設， ①

則，

再設，，

∴，

∴在是增函數(shù)，

又，∴ ②

同理 ③

∵一次函數(shù)在上是增函數(shù)，

因此由①②③得在有唯一解，

故原命題成立．