Question

給出下列五個(gè)命題：其中正確的命題有________（填序號(hào)）．
①函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積；
②；
③在（a+b）ⁿ的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由假設(shè)n=k成立推到n=k+1成立時(shí)，只需證明即可．

Answer 1

②③④
分析：①利用定積分的幾何意義即可求出；
②由組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷出；
③利用二項(xiàng)展開式的性質(zhì)即可判斷出；
④根據(jù)i的周期性或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
⑤利用數(shù)學(xué)歸納法的要求即可判斷出．
解答：①函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積=-==4，而面積=0，因此不正確；
②由組合數(shù)的性質(zhì)可知：在n∈N^*，r∈N的條件下所給的式子成立，因此正確；
③在（a+b）ⁿ的展開式中，分別令a=1，b=-1，則…=…，即奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，因此正確；
④根據(jù)i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，則i+i²+i³+…i²⁰¹²===0，因此正確；
⑤用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由假設(shè)n=k成立推到n=k+1成立，
只需證明+…+成立即可，因此⑤不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為②③④．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握微積分基本定理、組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)、i的周期性及等比數(shù)列的前n和公式、數(shù)學(xué)歸納法是解題的關(guān)鍵．