Question

設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）證明：當(dāng)，；
（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時，，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) .

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，求導(dǎo)數(shù)，令，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，再求最大值，從而判斷，當(dāng)時，成立；(Ⅱ)由，注意到．再求，對實數(shù)分三種情況討論，①，②，③，分別求出當(dāng)時，分別通過函數(shù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的的取值范圍，再求并集.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，則
令，得，當(dāng)時，，所以在為增函數(shù)；
當(dāng)時，，所以在為減函數(shù)．
所以，．
即當(dāng)時，成立．                   4分
（Ⅱ）由，注意到．
設(shè)，則.
（�。┊�(dāng)，時，，因此在為減函數(shù)，
即在為減函數(shù)，
所以在為減函數(shù)，與已知矛盾.
（ⅱ）當(dāng)時，當(dāng)時，
則在為減函數(shù)，此時得為減函數(shù)，
與已知矛盾.
（ⅲ）當(dāng)時，當(dāng)時，為增函數(shù). 
，所以在為增函數(shù)，
不等式成立.
綜上所述 ，的取值范圍是