Question

已知集合是正整數(shù)的一個排列，函數(shù)
 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．
（Ⅰ）當(dāng)時，寫出排列的生成列及排列的母列；
（Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；
（Ⅲ）對于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個新的排列．證明：一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列．

Answer 1

(I)，；（II）詳見解析；（III）詳見解析.

解析試題分析：（I）弄懂已知條件中生成列、母列定義即可求解；（II）弄懂“對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．”是解題的關(guān)鍵；（III）把握第(I)問，由特殊到一般，才能順利求(III).
試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)時，排列的生成列為；         2分
排列的母列為．                          3分
（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．
從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個不同的項(xiàng)為與，即：，，，，．
顯然 ，，，，下面證明：．     5分
由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個數(shù)減去比大的項(xiàng)的個數(shù)．
由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．
同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．
因?yàn)?與是個不同數(shù)的兩個不同排列，且，
所以 ， 從而 ．
所以排列和的生成列也不同．                8分
（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以 ．              9分
進(jìn)行一次變換后，排列變換為，設(shè)該排列的生成列為． 所以