如圖，四棱錐
的底面是正方形，側(cè)棱
底面
，過
作
垂直
交于
點，作
垂直
交于
點，平面
交
于
點，且
，
.
（1）設(shè)點
是
上任一點，試求
的最小值；
（2）求證：、在以
為直徑的圓上；
（3）求平面
與平面所成的銳二面角的余弦值.
（1）
；（2）詳見解析；（3）
.
解析試題分析：（1）將側(cè)面
和側(cè)面
沿著展開至同一平面上，利用
、、三點共線結(jié)合余弦定理求出的最小值，即線段
的長度；（2）證
平面
，從而得到
，同理得到
，進(jìn)而證明、在以為直徑的圓上；（3）方法一是建立以點為坐標(biāo)原點，分別以
、
、
所在的直線為
、
、
軸的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；方法二是延長
與
使得它們相交，找出二面角的棱，然后利用三垂線法找出平面與平面所成的銳二面角的平面角，利用直角三角函數(shù)來求相應(yīng)角的余弦值.
試題解析：（1）將側(cè)面繞側(cè)棱旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面在同一平面內(nèi)，如下圖示，
則當(dāng)、、三點共線時，取最小值，這時，的最小值即線段的長，
設(shè)
，則
，
在
中，
，
，
在三角形
中，有余弦定理得：
，
，
（2）
底面，
，又
平面，又
平面，
，
又
，
平面，
又
平面，
，
同理，
、在以為直徑的圓上；
（3）方法一：如圖，以為原點，分別以、、所在的直線為
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，正方形A1BA2C的邊長為4，D是A1B的中點，E是BA2上的點，將△A1DC
及△A2EC分別沿DC和EC折起，使A1、A2重合于A，且平面ADC⊥平面EAC．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）求二面角A-DE-C的余弦值。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如下圖，在三棱錐
中，
底面
，點
為以
為直徑的圓上任意一動點，且
，點
是
的中點，
且交
于點
.
（1）求證：
面
；
（2）當(dāng)
時，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=
BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4
（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）若F點是棱PC上一點，且
，
，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在直角梯形ABCP中，
,D是AP的中點，E,G分別為PC,CB的中點，將三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中點，求證：AP
平面EFG;（2）當(dāng)二面角G-EF-D的大小為
時，求FG與平面PBC所成角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，
于
，延長AE交BC于F，將
ABD沿BD折起，使平面ABD
平面BCD，如圖2所示.
（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段
上是否存在點
使得
平面
？若存在,請指明點
的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD
底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
，
，
．
(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點的一點，
，試確定
的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝
BD，AN＝AE.求證：MN∥平面CDE.
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中,
底面
,且底面
分別為
的中點．
平面
;
和平面
的夾角.