Question

（14分）已知，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，求面積的最小值，并求出當(dāng)的面積取到最小值時(shí)直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）面積的最小值為2，此時(shí)直線的方程為=1

【解析】

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)，則，

由得：，

化簡(jiǎn)得．                                                    ……6分

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，、，

所以；                                              ……8分

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為，、，

將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，消去整理得：，

所以有，

所以=， ……13分

所以面積的最小值為2，此時(shí)直線的方程為=1。                  ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與拋物線的位置關(guān)系和三角形面積公式的應(yīng)用以及最值的求解，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：設(shè)直線方程時(shí)，一定要考慮斜率是否存在兩種情況，否則會(huì)漏掉一個(gè)解.