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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				
          在四棱錐中，平面，,.
              
          (Ⅰ)求證：；
              
          (Ⅱ)求與平面所成角的正弦值；
              
          (Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使平面？說明理由.
                  
                                                      
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          證明：(Ⅰ)在四棱錐中，因為平面，平面, 
              
          所以.        因為，        所以.
              
                 因為,        所以平面.
              
          因為平面,所以.               
              
          (Ⅱ)  如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.   不妨設(shè)，則.
              
          則.
              
                     所以，.
              
                      設(shè)平面的法向量.
              
                      所以 .即.
              
                      令，則.
              
                      所以 所以
              
          所以與平面所成角的正弦值為.                 
              
          (Ⅲ)（法一）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時,平面.
              
          如圖：分別取的中點(diǎn),連結(jié).
              
               所以,且.      因為且，
              
               所以且.      所以四邊形是平行四邊形.  
              
               所以.      因為，     所以三角形是等腰三角形.
              
              所以.          因為平面，         所以.
              
                  因為,         所以平面.         所以平面.
              
                      即在線段上存在點(diǎn),使平面.               
              
              （法二）設(shè)在線段上存在點(diǎn),當(dāng)時，平面.
              
                      設(shè)，則.所以.
              
          即.所以.
              
          所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.
              
          若平面，則.即.解得.
              
          所以當(dāng)，即為中點(diǎn)時，平面.     
              
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011年江蘇省普通高中招生考試數(shù)學(xué)
				題型：解答題
			
          

						
          （本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，
          AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)
          求證：（1）直線EF‖平面PCD；
          （2）平面BEF⊥平面PAD
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2012-2013學(xué)年甘肅省蘭州市高三第一次（3月）診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．
          


          


          （Ⅰ）求證：；
          


          （Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬預(yù)測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          在四棱錐中，平面，底面為矩形，.
          


          （Ⅰ）當(dāng)時，求證：；
          


          （Ⅱ）若邊上有且只有一個點(diǎn)，使得，求此時二面角的余弦值.
          


          


          【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時，底面ABCD為正方形，
          


          又因為,………………2分
          


          又，得證。
          


          第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
          


          設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
          


          要使，只要
          


          所以，即………6分
          


          由此可知時，存在點(diǎn)Q使得
          


          當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q，使得
          


          由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為
          


          ,所以    平面PAD的法向量
          


          則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
          


          因此二面角A-PD-Q的余弦值為
          


          解：(Ⅰ)當(dāng)時，底面ABCD為正方形，
          


          又因為,又………………3分
          


          (Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，
          


          


          則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
          


          設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
          


          所以，即………6分
          


          由此可知時，存在點(diǎn)Q使得
          


          當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,
          


          設(shè)平面POQ的法向量為
          


          ,所以    平面PAD的法向量
          


          則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
          


          因此二面角A-PD-Q的余弦值為
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011-2012學(xué)年貴州省黔東南州高三第一次高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在四棱錐中，平面，，，．
          


          （Ⅰ）證明：；
          


          （Ⅱ）求與平面所成角的大�。�
          


          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2013屆黑龍江省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)
				題型：解答題
			
          

						
          （12分）在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，     AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)
          


          求證：（1）直線EF∥平面PCD；
          


          （2）平面BEF⊥平面PAD
          


           
          


          


           
          


           
          

			
          

			
          
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