Question

（2012•安徽模擬）如圖，正方形ABCD與直角梯形ACEF所在的平面垂直于梯形下底AC，AB=2，梯形上底EF與直角腰EC相等且為

2

．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AF∥平面BDE，利用線面平行的判定定理，設(shè)AC與BD交與點G，證明AF∥GE即可；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點、向量，利用向量的數(shù)量積即可證得CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）

CF

=(1，1，

2

)是平面BDE的一個法向量，求出平面ABE的法向量

n

=(0，1，

2

)，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-BE-D的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交與點G．
因為EF∥AG，且EF=

2

，AG=

1

2

AC=

2

．
所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥GE，
因為GE?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），D(2，0，0)，E(0，0，

2

)，F(xiàn)(1，1，

2

)．
所以

CF

=(1，1，

2

)，

BE

=(0，-2，

2

)，

DE

=(-2，0，

2

)
所以

CF

•

BE

=0-2+2=0，

CF

•

DE

=-2+0+2=0
所以CF⊥BE，CF⊥DE．
因為BE∩DE=E，所以CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

CF

=(1，1，

2

)是平面BDE的一個法向量．
設(shè)平面ABE的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

BA

=0，

n

•

BE

=0．
即

-2y+ 2 z=0 2x=0

，
所以x=0，且z=

2

y，
令y=1，則z=

2

．所以

n

=(0，1，

2

)．從而cos＜

n

，

CF

＞=

n • CF

|n || CF |

=

3

2

．
因為二面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D的大小為

π

6

．

點評：本題考查線面平行、線面垂直，考查面面角，考查用向量方法解決立體幾何問題，傳統(tǒng)方法與向量方法相結(jié)合，屬于中檔題．