Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點為，過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線和，分別交直線于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的最小值；

（Ⅲ）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，橢圓的右頂點為，求證：，，三點共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）9（Ⅲ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出a的值，根據(jù)離心率求出c的值，從而求出橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)出l1的方程，表示出M，N的坐標(biāo)，表示出|MN|，表示出△FMN的面積，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出面積的最小值即可；

（Ⅲ）聯(lián)立直線和橢圓的方程，表示出P的坐標(biāo)，求出直線BP，BN的斜率，判斷即可．

解：（Ⅰ）由題意，離心率，所以．所以．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ），由題意，設(shè)，，

令得：，，所以.

設(shè)d為點F到直線l的距離，則的面積為

．當(dāng)且僅當(dāng)，

即時，的面積的最小值為．

（Ⅲ）直線的方程為，由消元，得

，即，

設(shè)，則，

所以．

所以．又，，

所以所以，所以三點共線．