Question

已知過點(diǎn)A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于點(diǎn)N，則下面運(yùn)算結(jié)果為定值的有（　�。�
①

AP

•

AQ

②

AM

•

AC

③

AC

•

AN

④

AM

•

AN

．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，我們可以求出兩條直線的交點(diǎn)N的坐標(biāo)（含參數(shù)k），然后根據(jù)向量數(shù)量積公式，利用切割線定理判斷

AP

•

AQ

為定值，即可求出

AM

•

AC

，

AC

•

AN

，

AM

•

AN

的值，進(jìn)而得到結(jié)論

解答：解：對于①，由題意

AP

•

AQ

=|

AP

|•|

AQ

|，過A作AT與圓相切，切點(diǎn)為T，根據(jù)切割線定理可知AT2=|

AP

|•|

AQ

|=定值．①正確．
對于②，

AM

•

AC

=

|AM

|•|

AC

|cos∠CAM=

AM

2不是定值，②不正確；
對于③，對于④，因為CM⊥MN，
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

，
當(dāng)直線l與x軸垂直時，易得N（-1，-

5

3

），
則

AN

=（0，-

5

3

），又

AC

=（1，3），
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
則由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

），
則

AN

=（

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

），
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5，
綜上，

AM

•

AN

與直線l的斜率無關(guān)，且

AM

•

AN

=-5．③④正確．
正確的個數(shù)為3個．
故選C．

點(diǎn)評：此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，切割線定理的應(yīng)用，學(xué)生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件，靈活運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡求值，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，會利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實際問題，是一道綜合題．