Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值；

（2）若有兩個零點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到極值；

（2）根據(jù)零點的概念得到，利用分析法只需證：，令，即證，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1），

①當(dāng)時，由于，故，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值；

②當(dāng)時，由，得，

在上，，在上，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

函數(shù)有極小值，無極大值，

綜上：當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極小值，無極大值.

（2）函數(shù)有兩個零點，，不妨設(shè)，

由（1）得，且，

則，，，

即，

要證：，需證：，

只需證：，只需證：，

只需證：，只需證：，

令，即證，

設(shè)，

則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，

則，即得.