Question

已知關(guān)于x的不等式

ax2

ax-1

-x＞0．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解此不等式；
（2）對a∈R，解此不等式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，此不等式即

-x2

-x-1

-x＞0，即

-x

x+1

＞0，即x（x+1）＜0．解此一元二次不等式，求得原不等式的解集．
（2）對a∈R，由題意可得

x

ax-1

＞0．分當(dāng)a＜0時(shí)、當(dāng)a＞0時(shí)、當(dāng)a=0時(shí)三種情況，分別求得不等式的解集．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，此不等式即

-x2

-x-1

-x＞0，即

-x

x+1

＞0，即

x

x+1

＜0，即x（x+1）＜0．
解得-1＜x＜0，故此時(shí)不等式的解集為（-1，0）．
（2）對a∈R，由關(guān)于x的不等式

ax2

ax-1

-x＞0，可得

x

ax-1

＞0．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式即 x（ax-1）＞0，解得

1

a

＜x＜0，解集為{x|

1

a

＜x＜0}．
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式即 x（ax-1）＞0，解得x＞

1

a

，或 x＜0，解集為{x|

1

a

＜x，或 x＜0}．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式即0-x＞0，解得 x＜0，解集為{x|x＜0}．

點(diǎn)評：本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．