Question

（本小題滿分13分）

動(dòng)圓與定圓內(nèi)切，與定圓外切，A點(diǎn)坐標(biāo)為

（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程和離心率；

（2）若軌跡上的兩點(diǎn)滿足，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其軌跡方程為，離心率為；（2）.

【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用定義法求解軌跡方程以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）利用圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓心距和半徑的關(guān)系，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，然后結(jié)合定義得到軌跡方程。

（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后結(jié)合韋達(dá)定理和向量的關(guān)系式的，到坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而化簡得到點(diǎn)的坐標(biāo)。

（1）如圖，設(shè)動(dòng)圓C的半徑為R，

則，①      

  ，②

①+②得，

由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其軌跡方程為，離心率為……………………………………………………………………6分

（2）設(shè)

由可得

所以③…………………………………9分

由是橢圓上的兩點(diǎn)，得

，由④、⑤得

將代入③，得，將代入④，得所以，

所以.……………………………………………………13分